条件回撤优化：直接最小化最差回撤路径的组合构建

先说结论：把”最小化最大回撤”直接写成优化目标在技术上完全可行——非复利口径下 MaxDD 约束是线性的，加一组辅助变量就是标准 LP。但我这次实验的主角不是这个技巧，而是它的翻车现场：单路径 min-MaxDD 解在 100 次块自助重抽样下权重 IQR 高达 0.27/0.39（方差目标只有 0.13/0.12，稳定性差 2-3 倍），样本外 200 条路径的中位 MaxDD 12.8%，反而输给了它声称要打败的最小方差组合（10.6%）。原因不复杂：MaxDD 是路径泛函，由一条历史上的一个点决定，对着它优化等于对着噪声做精确制导。补救方案是把优化从”一条路径”升级到”多条情景的 worst-case”——20 情景鲁棒解把训练集最差回撤从 23.9% 压到 21.8%，样本外中位 MaxDD 也从 12.8% 收回到 11.5%。回撤优化不是不能做，是不能对一条路径做。

这篇接在 CDaR 之后：那篇讲的是把回撤尾部的平均写进目标（CDaR₉₅），这篇走到光谱最极端的一端——直接优化 MaxDD 本身，然后眼睁睁看它过拟合，再用多情景把它救回来。

MaxDD 也能写成线性规划#

沿用 CDaR 篇的非复利口径。给定权重 $w$，组合累计收益 $W_t = \sum_k w_k C_{t,k}$（$C_{t,k}$ 是资产 $k$ 的累计简单收益），回撤是 $D_t = \max_{s\le t} W_s - W_t$。

MaxDD 的麻烦在 $\max_{s \le t}$ 这个 running max——它不是 $w$ 的光滑函数。但有个经典技巧：引入辅助变量 $m_t$ 代表 running max，用两组不等式把它”夹”出来：

$m_t \ge W_t, \quad m_t \ge m_{t-1}, \quad m_t - W_t \le u$

最小化 $u$。在最优解处 $m_t$ 会被压到恰好等于 running max（多余的松弛只会让 $u$ 变大），于是 $u$ 就是最大回撤。全部约束对 $(w, m, u)$ 线性——这就是一个 LP：

from scipy.optimize import linprog
from scipy import sparse
import numpy as np

def solve_min_maxdd(R_cum, mu_d, target):
    """min u  s.t.  m_t >= W_t, m_t >= m_{t-1}, m_t - W_t <= u,
       mu'w >= target, sum(w)=1, w>=0.  R_cum: (T,K) 累计简单收益"""
    T, K = R_cum.shape
    nv = K + T + 1                      # 变量: w, m, u
    iw, im, iu = 0, K, K + T
    rows, cols, vals, rhs = [], [], [], []
    rc = 0
    for t in range(T):
        # W_t - m_t <= 0
        for k in range(K):
            rows += [rc]; cols += [iw + k]; vals += [R_cum[t, k]]
        rows += [rc]; cols += [im + t]; vals += [-1.0]; rhs += [0.0]; rc += 1
        if t > 0:                        # m_{t-1} - m_t <= 0
            rows += [rc, rc]; cols += [im + t - 1, im + t]
            vals += [1.0, -1.0]; rhs += [0.0]; rc += 1
        # m_t - W_t - u <= 0
        rows += [rc]; cols += [im + t]; vals += [1.0]
        for k in range(K):
            rows += [rc]; cols += [iw + k]; vals += [-R_cum[t, k]]
        rows += [rc]; cols += [iu]; vals += [-1.0]; rhs += [0.0]; rc += 1
    # 收益约束 -mu'w <= -target
    for k in range(K):
        rows += [rc]; cols += [iw + k]; vals += [-mu_d[k]]
    rhs += [-target]; rc += 1
    A = sparse.coo_matrix((vals, (rows, cols)), shape=(rc, nv)).tocsr()
    Aeq = sparse.coo_matrix((np.ones(K), (np.zeros(K), np.arange(K))),
                            shape=(1, nv)).tocsr()
    c = np.zeros(nv); c[iu] = 1.0
    res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=rhs, A_eq=Aeq, b_eq=[1.0],
                  bounds=[(0, 1)] * K + [(0, None)] * T + [(0, None)],
                  method="highs")
    return res.x[:K], res.x[iu]

顺带一提，这个骨架和 CDaR 的 LP 只差最后一组约束：CDaR 把 $m_t - W_t$ 超过门槛 $\zeta$ 的部分收集起来取平均，MaxDD 直接压最大值。CDaR 的 $\alpha \to 1$ 极限就是 MaxDD——它们是同一个家族的两端。

实验设定：三资产两状态#

沿用回撤系列的模拟世界：股票（平时年化 +12%/15%，危机 −35%/30%）、债券（+3%/5%，危机 +6%/7%）、趋势（平时 +2%/13%，危机 +60%/26%），两状态马尔可夫切换，危机平均持续约 20 天。样本内一条 10 年路径（2500 天），实现的年化均值：股票 5.8%、债券 4.7%、趋势 14.4%（这条路径趋势资产运气很好——记住这一点，后面要用）。

先看一眼三个目标在同一条路径、同一收益约束（年化 9.7%）下给出的权重：

CDaR 和 MaxDD 给出了完全相同的解，而且都把股票清零。这不是巧合：这条路径上的深回撤全部由股票的危机段贡献，任何盯着回撤尾部的目标都会做同一件事——扔掉股票，用债券+趋势填收益约束。

图里是最小方差组合的回撤序列：MaxDD 只看那个 13.7% 的红点，CDaR₉₅ 看整片橙色尾巴（均值 10.0%）。由一个点决定的统计量，样本噪声有多大，对它的优化就有多不稳。

翻车现场：块自助下的权重神经质#

把样本内路径做 21 天块自助重抽样 100 次，每次重新解 min-MaxDD 和 min-方差，看最优权重晃得有多厉害：

MaxDD 目标的权重四分位距是方差目标的 2-3 倍。机制很直白：块自助改变了”哪一段危机被抽到、抽到几次”，MaxDD 由单一最深谷底决定，谷底换了位置，最优权重就大幅换仓；方差是全样本平均，对重抽样天然钝感。优化目标的统计效率直接决定了解的稳定性——这是比”哪个目标更贴近投资人偏好”更硬的约束。

补救：从一条路径到 worst-case 多情景#

既然单路径 MaxDD 是噪声，正确的问法是：在多条可能的未来路径下，最差那条的回撤最小化。这就是条件回撤优化的鲁棒版本：模拟 $S$ 条情景，每条情景各自带一组 running-max 辅助变量，共享同一个 $u_{\max}$：

$\min_{w} u_{\max} \quad \text{s.t.} \quad D_t^{(s)}(w) \le u_{\max}, \; \forall t, \forall s$

变量规模 $K + S \cdot T + 1$，20 条两年期情景约 1 万个变量，HiGHS 一秒出解。20 情景解 $w = [10.6\%, 17.7\%, 71.6\%]$——注意它把股票加回来了：不同情景里危机的时点和深度不同，趋势资产不再每条路径都是英雄，分散重新有了价值。

在 20 条训练情景上逐条对比：单路径解（只看情景 0）的最差情景 MaxDD 23.9%，鲁棒解压到 21.8%，平均值也从 14.8% 降到 13.4%——没有任何一条情景上鲁棒解明显更差，它买的是整个分布的保险。

样本外审判#

200 条全新路径（两年期），四个组合的 MaxDD 分布：

诚实地说：这张表对回撤优化不客气。单路径的 MaxDD/CDaR 解样本外全面落后于朴素的最小方差——它们在样本内路径上学到的”扔掉股票、重仓趋势”，本质是对那条路径上趋势资产 14.4% 年化好运气的过拟合（趋势的真实无条件年化只有约 5%）。20 情景鲁棒解修复了一部分（中位 12.8%→11.5%），但仍没有反超方差目标。

这和 CDaR 篇”样本外优势缩水但方向保持”的结论并不矛盾——那篇的危机 alpha 信号强度是刻意调高的。两篇合起来的真实教训是：回撤类目标只有在”资产间存在机制性的危机对冲结构、且你有足够多情景让优化器看清这个结构”时才跑赢方差目标；只喂一条历史路径，它一定过拟合，因为 MaxDD 的有效样本量约等于 1。

A. 实现细节#

• 非复利累计收益保 LP 线性；MaxDD 用 running-max 辅助变量 + 三组不等式夹逼；多情景版每情景独立辅助变量、共享 $u_{\max}$
• 收益约束按各实验样本内实现均值定标（介于第一、第二高收益资产之间），保证约束绑定、权重有分化
• 块自助：21 天块、100 次重抽样，每次按该次样本重新定收益目标（避免不可行）
• 样本外评估用复利口径 MaxDD、每日再平衡——训练口径（非复利）与评估口径（复利）故意不同，模拟真实使用场景

B. 已知偏差#

• 非复利训练口径在深回撤区高估回撤，对浅回撤区几乎无影响；训练/评估口径不一致会让最优解轻微偏保守
• 情景由与真实 DGP 相同的模型生成——真实世界里你没有这个奢侈，情景模型本身的误设是额外风险层
• 每日再平衡无成本；MaxDD 型解权重跳动大，换手惩罚会进一步压缩其相对方差目标的空间

C. 结果解读#

• MaxDD 的有效样本量约等于 1：块自助 IQR 0.27/0.39 vs 方差目标 0.13/0.12，是这篇最重要的数字——目标函数由几个点决定，解就由噪声决定
• 样本外反转：单路径回撤优化中位 MaxDD 12.8% 输给最小方差 10.6%，回撤目标不是免费午餐，它用统计效率换偏好贴合度
• 多情景是必选项不是增强项：20 情景把最差训练回撤压 2.1pp、样本外中位收回 1.3pp，且把被单路径解清零的股票权重恢复到 10.6%——分散的价值只有在多情景下才被看见
• CDaR 与 MaxDD 在尾部主导的样本里解重合：当深回撤集中来自单一资产的少数事件时，尾部平均和尾部最大值指向同一个方向，α 的选择只在回撤来源多样时才有区分度