路径签名粗糙路径：用迭代积分把价格轨迹写成可学习的特征 • halo 的技术博客

先说结论：把一段 40 步的价格轨迹压成”均值、波动、动量”几个统计量，等于把一部电影压成三张剧照——路径”怎么走”的信息全丢了。路径签名（path signature）是粗糙路径理论送给机器学习的礼物：用迭代积分把整条轨迹按阶数展开成一列数，一阶是净位移、二阶是 Lévy 面积（路径转了多少圈）、三阶以上编码更精细的时序几何。本文用纯 numpy 从零实现 level-3 截断签名，在三类合成路径上做特征对决：签名特征样本外 IC 0.737，碾压 6 维手工统计特征的 0.597——而消融实验揭示，决定性的信息恰恰藏在传统特征完全无法表达的三阶项里。

一、统计量丢掉了什么#

考虑两段 40 日的价格轨迹：

轨迹 A：稳步上涨 2%，每天涨一点
轨迹 B：先冲高 4% 再回落，最后也停在 +2%

它们的净收益完全相同，波动率也可以调到接近。用”均值+波动+动量”描述，这两条路径几乎无法区分。但对交易者来说它们是两个世界：A 是趋势延续的候选，B 是冲高回落、动能衰竭的信号。

区分它们需要的不是更多统计量，而是路径的形状——先后顺序、往返结构、绕行方向。这正是路径签名的主场。

二、签名是什么：迭代积分的层级展开#

设一条 $d$ 维路径 $X: [0,T] \to \mathbb{R}^d$ 。它的签名是一列迭代积分：

$S^{(i)} = \int_0^T dX^i, \quad S^{(i,j)} = \int_0^T \int_0^t dX^i_s\, dX^j_t, \quad S^{(i,j,k)} = \iiint_{0<r<s<t<T} dX^i_r\, dX^j_s\, dX^k_t, \dots$

直观理解逐级递进：

Level-1（ $d$ 项）：净位移。就是终点减起点，等价于总收益。
Level-2（ $d^2$ 项）：对称部分是位移平方（可由 level-1 导出），反对称部分是 Lévy 面积——路径与其弦围成的有向面积，度量”绕行”：先涨后跌与先跌后涨的 Lévy 面积符号相反。
Level-3（ $d^3$ 项）：三重时序嵌套，编码”先怎样、再怎样、后怎样”的三段式结构。

粗糙路径理论给出两个关键定理：（1）唯一性——无限阶签名（在树等价意义下）唯一决定路径；（2）万有性——路径的任何连续泛函都能被签名的线性函数任意逼近。翻译成机器学习语言：签名是路径的”万能特征”，后面接个线性模型理论上就够了。

当然，“理论上”三个字在量化里通常意味着一堆坑，第五节再算账。

时间增广：一个必须做的小动作#

一维价格序列直接算签名会退化（一维路径的高阶签名全由一阶决定）。标准做法是时间增广：把路径写成二维 $(t, P_t)$ ，时间做第一个坐标。这样二阶项里的 $\int t\, dP - \int P\, dt$ 就是价格对时间的 Lévy 面积，“先涨后跌”和”匀速上涨”立刻分开。

三、纯 numpy 实现：Chen 恒等式递推#

对分段线性路径，签名不需要数值积分——Chen 恒等式说：两段路径拼接后的签名等于两段签名的张量积。对每个线性小段，签名有解析形式（ $v, \frac{v\otimes v}{2}, \frac{v\otimes v\otimes v}{6}$ ），逐段递推即可：

def signature_level3(path):
    """path: (T, d) 分段线性路径 → level-1~3 截断签名 (d + d² + d³ 维)"""
    dx = np.diff(path, axis=0)
    d = dx.shape[1]
    S1 = np.zeros(d); S2 = np.zeros((d, d)); S3 = np.zeros((d, d, d))
    for v in dx:                      # 每个线性段增量 v
        s2 = np.outer(v, v) / 2.0     # 单段的二阶签名
        s3 = np.einsum("i,j,k->ijk", v, v, v) / 6.0
        # Chen 恒等式：新签名 = 旧签名 ⊗ 单段签名，按阶展开
        S3 = S3 + np.einsum("ij,k->ijk", S2, v) \
                + np.einsum("i,jk->ijk", S1, s2) + s3
        S2 = S2 + np.outer(S1, v) + s2
        S1 = S1 + v
    return np.concatenate([S1, S2.ravel(), S3.ravel()])

python

注意更新顺序必须从高阶往低阶写（先 S3 再 S2 再 S1），因为高阶更新要用旧的低阶值——这是实现里最容易翻车的地方。

时间增广后 $d=2$ ，level-3 截断共 $2 + 4 + 8 = 14$ 维。每条 40 步路径 14 个数，就是它的”形状指纹”。

四、特征对决：签名 vs 手工统计量#

4.1 实验设计#

合成 2100 条 40 步路径（1500 训练 / 600 测试），三类各占约三分之一，下期收益由路径类型决定：

趋势型：带漂移的随机游走，下期收益 = 0.6×漂移（趋势延续）
均值回复型：正弦往返路径（冲高回落或探底回升），下期收益与冲高方向相反（动能衰竭反转）
噪声型：纯随机，下期收益期望为零

三类路径示例

对照组是 6 维手工统计特征：均值、波动率、累计收益、偏度、末 10 日动量、最大回撤——这已经是相当认真的传统特征工程了。两边都接同一个岭回归（λ=5），比样本外 IC。

4.2 结果：0.737 vs 0.597，差距藏在三阶#

IC 对比

特征集	维度	样本外 IC
手工统计特征	6	0.597
签名 level-1	2	0.435
签名 level-1~2	6	0.434
签名 level-1~3	14	0.737

三个值得咀嚼的细节：

第一，level-1 单独就有 0.435。 这不奇怪——level-1 就是净位移（总收益），趋势延续的信息它直接携带。

第二，加入 level-2 几乎零增量（0.434）。 这一开始让我怀疑实现有 bug，后来想通了：本实验的关键区分是”往返路径下期反转”，而 Lévy 面积对对称的往返（冲高回落，起点终点几乎重合）幅度有限，且冲高与探底的面积符号相反、与反转方向的关系是非线性的——线性模型吃不动。Lévy 面积分布图也印证了这点：三类路径的面积分布大量重叠，单靠它切不开趋势与回复。

Lévy 面积分布

第三，level-3 一步从 0.434 跳到 0.737。 “先冲高、再回落”是一个三段式时序结构，恰好是三阶迭代积分 $\iiint_{r<s<t}$ 的表达范围。手工特征里没有任何一项能写出这个量——你当然可以事后设计一个”前半段收益减后半段收益”的特征，但那是看了答案再出题；签名是不看答案就把所有阶的时序几何系统性列出来，让模型自己挑。

这就是签名的真正卖点：不是某个神奇特征，而是一套完备的、免设计的路径特征基。

五、维度爆炸：签名的原罪#

万有性定理的代价写在维度上： $d$ 维路径的 level- $L$ 截断签名共 $\sum_{k=1}^{L} d^k$ 项。

维度爆炸

$d=2$ 时 level-5 才 62 维，还算温柔；但如果你把”价格、成交量、买卖价差、持仓量”加时间做成 $d=5$ 的路径，level-3 就是 155 维，level-5 直接 3905 维——样本稍少就是过拟合火葬场。

工程上的续命三件套：

压低维度 $d$ ：只放真正正交的通道，时间+价格+成交量（ $d=3$ ）通常够用；
低阶截断：金融噪声路径上 level-3~4 之后的高阶项信噪比急剧衰减，截断本身就是正则化；
对数签名（log-signature）：签名的自由李代数坐标，去掉了代数冗余（比如 level-2 对称部分可由 level-1 导出），同样信息维度更紧凑—— $d=2$ level-3 从 14 维压到 5 维。

六、坑位备忘录#

坑一：签名 ≠ 万能钥匙。 万有性定理说的是”存在线性泛函逼近任意连续泛函”，前提是无限阶签名+任意精度。截断到 level-3 后它就是个普通特征集，会过拟合、会失效、需要交叉验证，一样都不少。把定理当营销词是学术裁缝的常见操作。

坑二：签名平移不变，丢掉绝对价位。 签名只依赖路径增量，“从 10 元涨到 12 元”和”从 100 元涨到 102 元”的时间增广签名在归一化后无法区分。如果你的策略逻辑依赖绝对价位（整数关口、历史新高），要额外把这些信息拼回特征里。

坑三：对采样频率敏感。 同一条连续路径，日频采样和分钟频采样的截断签名数值不同（高频路径的二次变差更大）。跨频率比较签名特征前必须统一采样协议，否则是在比较两个不同的东西。

坑四：路径尺度要归一化。 迭代积分是增量的乘积，波动大的路径签名数值天然大好几个量级。本实验中所有路径喂进岭回归前做了标准化；不做的话高波动样本会绑架整个回归。

七、能落地什么#

签名特征最舒服的场景是**“一段窗口的路径形状 → 一个标签”**的监督学习：形态分类（这段像不像顶部结构）、事件后路径聚类（财报后的走势分型）、以及作为 LSTM/Transformer 的替代——签名把变长序列变成定长向量，后面接线性模型或 GBDT，训练成本低一个数量级，且完全可解释到”第几阶第几项”。

反过来，如果你的预测目标只依赖净收益和波动（比如低频资产配置），签名的高阶项就是纯噪声，老老实实用统计特征。先问路径形状是否携带信息，再决定要不要为它付维度的钱——这是比任何定理都有用的一句话。

参考实现#

完整实验代码约 180 行纯 numpy：Chen 恒等式递推签名、时间增广、三类路径模拟、岭回归对决与消融。关键入口：

Xtr, ytr, _ = simulate(1500, seed=1)          # 三类路径 + 由形状决定的下期收益
F = np.array([signature_level3(make_path(x))  # (t/T, 累计收益) 时间增广
              for x in Xtr])                  # 每条路径 → 14 维签名
ic, pred, w = ridge_ic(F, ytr, Fte, yte, lam=5.0)

python

签名不是黑魔法，它只是把”路径怎么走”这件事第一次写成了可以喂给模型的数——剩下的过拟合攻防，和任何特征工程一样，一寸都不能少。