门限自回归 TAR 非线性建模：用状态依赖的回归捕捉市场不对称反应 • halo 的技术博客

先说结论：线性 AR 模型假设市场对涨跌的反应是对称的——同一个自回归系数既管上涨也管下跌。但实证事实是：大跌之后反转倾向强，上涨之后延续倾向弱，两边根本不是一套动力学。门限自回归（TAR，Threshold Autoregression）用一个门限值把状态空间切成两段，每段各配一套 AR 系数，让「昨天处于什么状态」决定「今天用哪个模型」。在合成 SETAR 数据上实测：下状态斜率估出 −0.20（均值回归）、上状态 +0.36（动量延续），线性 AR 只能给一条”平均直线”把两种动力学全部拟丢；样本外择时回测中 TAR 择时 Sharpe 4.69，高于线性 AR 择时的 4.19 和买入持有的 4.46，最大回撤从 −7.6% 收窄到 −6.1%。但门限估计本身的抽样误差不小——真实门限 0，全样本估出 −0.0034，这个误差在实盘里就是信号错位。

TAR：门限两侧是两个完全不同的世界

一、线性 AR 的原罪：一条直线管两个世界#

标准 AR(1) 写作 $y_t = \phi_0 + \phi_1 y_{t-1} + \varepsilon_t$ 。这个模型有一个几乎从不被明说的假设： $\phi_1$ 对所有 $y_{t-1}$ 都一样。昨天涨 3% 和昨天跌 3%，模型给出的”延续强度”是同一个数。

但市场的经验事实恰恰相反：

恐慌下跌后：超卖反弹、抄底盘进场，短期均值回归强（负自相关）；
温和上涨中：趋势资金追涨，动量延续（正自相关）；
政策底/流动性冲击：反应速度完全不对称。

把这两种动力学塞进一个系数，得到的是两边都不像的”平均”。这不是参数估计误差，是模型设定错误。

二、TAR：让状态决定模型#

TAR 的想法极其直接。以最常用的两状态 SETAR（Self-Exciting TAR，转移变量是序列自身滞后）为例：

y_t = \begin{cases} \phi_0^{(L)} + \phi_1^{(L)} y_{t-1} + \varepsilon_t, & y_{t-d} < c \\ \phi_0^{(H)} + \phi_1^{(H)} y_{t-1} + \varepsilon_t, & y_{t-d} \ge c \end{cases}

三个要素：门限 $c$ （切在哪）、延迟 $d$ （用几期前的值判断状态）、两套 AR 系数。给定 $c$ ，两段各自就是普通 OLS；难的只有 $c$ 本身——它不可导，只能网格搜索：

import numpy as np

def fit_setar(X, Y, trim=0.15, n_grid=141):
    """两状态 SETAR(2;1,1)：网格搜索门限，内层 OLS"""
    cand = np.quantile(X, np.linspace(trim, 1 - trim, n_grid))
    best = (np.inf, None, None)
    for c in cand:
        lo = X < c
        if lo.sum() < 30 or (~lo).sum() < 30:
            continue                      # 每段至少 30 个样本
        b_lo = np.polyfit(X[lo], Y[lo], 1)
        b_hi = np.polyfit(X[~lo], Y[~lo], 1)
        rss = (np.sum((Y[lo] - np.polyval(b_lo, X[lo]))**2)
             + np.sum((Y[~lo] - np.polyval(b_hi, X[~lo]))**2))
        if rss < best[0]:
            best = (rss, c, (b_lo, b_hi))
    return best   # (最小RSS, 门限, 两段系数)

python

两个工程细节值得强调：

trim（截尾）：候选门限只在 15%~85% 分位之间取，保证两段都有足够样本，否则极端门限下小状态只剩几个点，系数纯属噪声；
每段最少样本数硬约束：这不是可选项，是防止过拟合的底线。

三、实验：线性 AR 拟丢了什么#

生成 2000 期 SETAR 数据：下状态（ $y_{t-1}<0$ ）斜率 −0.45（强均值回归），上状态斜率 +0.35（动量延续），噪声 σ=1%。

估计结果：网格搜索找到门限 −0.0034（真值 0），下状态斜率 −0.20、上状态 +0.36。上状态几乎精确恢复；下状态斜率偏浅，因为门限估偏导致部分上状态样本混入下状态，把负斜率”稀释”了——这正是门限抽样误差的直接代价。

网格搜索门限：RSS 曲线

RSS 曲线在真实门限附近有一个清晰的洼地，SETAR 把残差平方和比线性 AR 压低 3.4%。这个数字看起来不大，但要点在于：收益预测的 R² 本来就以 1% 计，3.4% 的 RSS 改善在信号层面是显著的结构增益，而且它来自模型形状的修正，不是参数微调。

四、样本外择时：不对称结构能变成钱吗#

前 1000 期训练（重新估门限与系数），后 999 期样本外。策略规则：TAR 一步预测 > 0 持有，否则空仓；对照组是线性 AR 择时和买入持有。

样本外择时对比

指标	TAR 择时	线性 AR 择时	买入持有
终值	16.76	13.55	17.06
Sharpe	4.69	4.19	4.46
最大回撤	−6.1%	—	−7.6%
仓位暴露	87.8%	95.5%	100%

三个读法：

终值上 TAR 略输买入持有（16.76 vs 17.06）——这份合成数据整体漂移为正，任何择时都要付”踏空成本”。TAR 赢的是风险调整后收益：用 87.8% 的暴露拿到更高 Sharpe、更浅回撤；
TAR 相对线性 AR 的增益是纯结构增益：两者用同样的数据、同样的规则，唯一区别是 TAR 知道”下跌后该用反转逻辑”。线性 AR 的单一系数在下状态给出系统性错误的方向预测；
Sharpe 绝对值（4+）是合成数据信噪比高的产物，实盘日频择时能到 1 已经很好，看相对排序，别看绝对值。

五、已知的坑：TAR 不是免费午餐#

门限的抽样误差比你想的大。 门限估计量收敛速度虽快（超一致，n 阶而非 √n 阶），但小样本下波动仍然可观——本实验 2000 个点，真值 0 估出 −0.0034，相当于 0.34 个日波动。门限错位意味着状态判断在边界附近系统性出错。

门限检验不是普通 t 检验。 检验”是否存在门限效应”时，零假设（线性）下门限参数 $c$ 不可识别，标准渐近分布失效，必须用 Hansen (1996) 的 bootstrap 上确界检验。直接看两段系数的 t 值差异会严重高估显著性——这是 TAR 文献里最常被忽略的一步。

两段样本不平衡是常态。 实盘数据里”极端状态”天然稀少，小状态可能只有全样本的 10%，那一段的系数标准误会大到没有实用价值。对策：要么把门限往中位数方向 trim，要么接受”小状态只做方向判断、不做精细预测”。

状态数与延迟 d 都是超参数。 本文固定两状态、d=1，实际应用中三状态（跌/盘/涨）和 d>1 都可能更优，但每加一个自由度，过拟合风险翻一倍，需要用 AIC/BIC 加样本外验证共同约束。

六、拆穿几个流行误读#

“门限 = 拐点，找到门限就找到了买卖点”。 错。门限是条件动力学切换的位置，不是价格拐点。 $y_{t-1}$ 穿过门限只说明”预测模型换了一套系数”，方向信号仍取决于该状态下的完整预测值。

“RSS 只降 3.4%，模型没用”。 拟合优度的边际改善和交易价值不是线性关系。择时策略只需要在符号判断上做对更多——本实验中 3.4% 的 RSS 改善换来了 Sharpe 从 4.19 到 4.69、回撤收窄 1.5 个百分点。

“TAR 一定赢线性”。 只在数据真有门限结构时成立。若真实过程是线性的，TAR 多出来的参数就是纯过拟合，样本外必然反噬。先做 Hansen 检验确认非线性显著，再上 TAR——顺序不能反。

“合成实验赢了，实盘照搬”。 本文数据生成过程和估计模型同族（都是 SETAR），这是模型正确设定下的上限演示。实盘序列的非线性未必长成门限型（可能是平滑过渡、可能是时变系数），TAR 只是非线性工具箱里最简单的一把刀。

七、总结#

TAR 的核心贡献是把”市场反应不对称”这个人尽皆知的定性观察，变成了一个可估计、可检验、可回测的定量结构：一个门限、两套系数、网格搜索即可估计。它的代价同样清楚：门限抽样误差、非标准推断、小状态样本稀缺。把它当成线性 AR 之后的第一步非线性升级——而不是终点——是最合理的定位。