Glosten-Milgrom 模型：逆向选择如何撑开买卖价差 • halo 的技术博客

上一篇 VWAP/TWAP 站在吃流动性的一方看执行成本，这一篇换到柜台对面：做市商为什么要收买卖价差？教科书的第一反应是「补偿库存风险和处理成本」，但 Glosten-Milgrom（1985）给出了一个更深刻的答案——哪怕做市商零成本、零库存约束、风险中性，价差依然必须存在，因为每一张进来的单子都可能来自比你知道更多的人。

这就是逆向选择价差，市场微观结构信息学派的奠基模型。

一、模型设定：一场不对称的重复博弈#

资产的真实价值 $V$ 是两值随机变量： $V \in \{V_L, V_H\}$ （模拟里取 98 和 102），做市商的先验 $p = P(V = V_H) = 0.5$ 。

交易者逐个到达，每人交易 1 股。人群里混着两类人：

知情者（占比 $\mu$ ）：知道 $V$ 的真值。 $V = V_H$ 时必买， $V = V_L$ 时必卖——永远朝对做市商不利的方向交易；
不知情者（占比 $1-\mu$ ）：因流动性需求交易，50/50 随机买卖。

做市商看不出来者是谁，只能看到订单方向。它的武器是贝叶斯更新：买单本身就是「真值偏高」的证据（因为知情者只在高值时买）。

二、报价公式：把后验直接写进价格#

关键洞察：做市商报出的 ask 不应该是当前的期望值 $E[V]$ ，而应该是条件在「下一单是买单」上的期望值——因为只有买单会打在 ask 上：

$\text{ask} = E[V \mid \text{买单}], \qquad \text{bid} = E[V \mid \text{卖单}]$

用贝叶斯展开（以 ask 为例）：

$P(V_H \mid \text{买}) = \frac{P(\text{买} \mid V_H)\, p}{P(\text{买})} = \frac{(\mu + \frac{1-\mu}{2})\, p}{\mu p + \frac{1-\mu}{2}}$

代码就是公式的直译：

V_L, V_H = 98.0, 102.0

def gm_quotes(p, mu):
    """p = P(V=V_H) 的当前信念, mu = 知情者占比"""
    p_buy  = mu * p + (1 - mu) / 2          # 买单的无条件概率
    p_sell = mu * (1 - p) + (1 - mu) / 2
    p_up_buy  = (mu + (1 - mu) / 2) * p / p_buy    # P(V_H | 买单)
    p_up_sell = ((1 - mu) / 2) * p / p_sell        # P(V_H | 卖单)
    ask = p_up_buy  * V_H + (1 - p_up_buy)  * V_L
    bid = p_up_sell * V_H + (1 - p_up_sell) * V_L
    return bid, ask, p_up_buy, p_up_sell

python

这个报价规则有个漂亮的性质：每笔成交的事前期望利润恰好为零（竞争性做市假设）。ask 定在「已知对方买入后」的公允价值上，成交瞬间做市商既不赚也不亏——期望意义上。

三、价差随知情者比例撑开#

$p = 0.5$ 时扫描 $\mu$ ：

价差 vs 知情者比例

数值上： $\mu = 0.1$ 时价差 0.40， $\mu = 0.3$ 时 1.20， $\mu = 0.6$ 时 2.40——在 $p=0.5$ 的对称点上价差恰好是 $\mu \cdot (V_H - V_L)$ ，与知情者比例严格成正比。知情者越多，每张单子的「毒性」越大，做市商的自卫报价越宽。

这条曲线是很多实证现象的理论底座：财报公告前价差系统性走宽（ $\mu$ 临时上升）、小盘股价差大于大盘股（信息不对称更严重）、危机中流动性蒸发（做市商怀疑所有对手盘都知情， $\mu \to$ 高位，价差宽到市场名存实亡）。

四、价格发现：速度与成本的对偶#

每笔成交后做市商更新信念，报价序列本身就是一台贝叶斯学习机。模拟真值 $V = V_H$ 的路径：

价格发现路径

对比鲜明：

μ=0.5：订单流里一半是带信息的单子，中间价约 30 笔就收敛到 102 附近——但路上每一步的价差都很宽；
μ=0.15：价差窄、交易便宜，但订单流信噪比低，200 笔过去信念仍未完全收敛。

这是微观结构的一个基本对偶：**知情交易是价格发现的引擎，也是流动性成本的来源。**监管想同时要「价格有效」和「价差窄」，GM 模型直白地告诉你这两个目标天然互相打架。

价差本身也随成交衰减：

价差衰减

逻辑清晰：随着信息进价， $p$ 趋向 0 或 1，剩余的不确定性（也就是知情者的剩余优势）缩小，逆向选择风险下降，价差收窄。开盘后价差快速收窄的日内模式，GM 给出了信息论解释。

五、损益分解：价差是一张转移税单#

做市商到底赚谁的钱？把 100 笔成交、400 次模拟的损益按对手方类型拆开：

# 客户买 -> 做市商在 ask 卖出，损益 = ask - V_true
# 客户卖 -> 做市商在 bid 买入，损益 = V_true - bid
mm_pnl = (px - V_true) if side == BUY else (V_true - px)

python

做市商损益分解

μ=0.1 那组：对知情者累计亏 12.0，从不知情者赚 11.2，合计 −0.8 ≈ 0。所有 μ 下合计都贴着零——竞争性零利润条件在模拟里精确成立，这也是对实现正确性的最好自检。

这张图值得每个交易者盯着看一分钟：**做市商只是过路财神，价差的净流向是从不知情者流向知情者。**你每次以市价单成交，付出的半价差里有一部分是在补贴市场里比你知道更多的人。推论也直接：如果你没有信息优势，你的最优行为是尽量少穿越价差（限价单、耐心执行）；如果你有真 alpha，你的利润上限正是市场为你这类人定的逆向选择税率。

六、工程含义与诚实边界#

**GM 是后续一整条工具链的地基。**Easley-O’Hara 把它扩展成事件不确定性模型，PIN（知情交易概率）直接从 GM 结构的订单流数据里极大似然估计 $\mu$ ，VPIN 再把它做成高频毒性监控指标——这些都是这个系列后面的主题。做执行的人也用得上：如果你的母单会被市场解读为知情单（比如总在利好前买入），你面对的价差就是为你定制的。

边界同样要说清：

两值真值是为了解析可解。连续真值版本（Kyle 1985 走的是另一条线性均衡路线）里价差的表达式复杂得多，但逆向选择的逻辑不变；
单位单量假设回避了订单大小的信息含量——真实世界里大单更可能知情，做市商会报出随量递增的价差曲线（这正是 Glosten 1994 限价簿模型的方向）；
零库存成本、风险中性意味着 GM 价差是真实价差的下界。实证拆解（如 Huang-Stoll 分解）通常把价差分成订单处理、库存、逆向选择三块，GM 只解释最后一块——大盘股里逆向选择约占价差的 20-40%，剩下的是另两个成分；
μ 是外生常数。真实市场里知情者会择时进场（在流动性好时隐藏自己），μ 内生化后模型变成动态博弈，价差行为更复杂。

七、从模型到数据：怎么把 μ 估出来#

GM 的结构给了一条从公开数据反推信息不对称的路。最直接的入口是价差回归：把日度相对价差对市值、波动率、成交量回归，残差里携带逆向选择成分的截面差异；更干净的是 Huang-Stoll（1997）分解——用成交价与中间价的序列协方差把价差拆成订单处理、库存、逆向选择三个组分，逆向选择占比就是 μ 的一个代理。

结构化估计走得更远：Easley 等人的 PIN 框架假设每天以概率 α 发生信息事件，事件日知情单以强度 μ 到达，然后用每日买卖单数量 $(B_t, S_t)$ 的联合分布做极大似然，直接估出「任意一笔成交来自知情者」的概率。GM 模型里那个外生的 μ，在 PIN 里变成了可以逐股、逐月估计的参数——小盘股 PIN 普遍在 0.2 以上，大盘股常低于 0.1，与本文价差曲线的预测方向完全一致。对量化研究者的直接用途：PIN/逆向选择代理是流动性风险因子的原料，也是事件研究里筛选『聪明钱先行』样本的工具。

八、总结#

Glosten-Milgrom 用最小的模型回答了最根本的问题：价差不是垄断租金，不是摩擦残渣，而是信息不对称的市场定价。μ 从 0.1 到 0.6，价差从 0.40 到 2.40 严格线性；做市商对知情者亏的每一块钱，都精确地从不知情者的价差里收回来。价格发现越快的市场交易成本越高，因为两者是同一枚硬币——知情订单流——的两面。下次看到 Level-2 上的价差数字，可以把它读成市场对「下一单来自内行」的概率报价。