超阈值 POT 建模：用广义帕累托分布拟合尾部超额 • halo 的技术博客

上一篇讲了极值理论的区组极大值路线：把 40 年日损失切成 480 个月块，每块取最大值，拟合 GEV。方法有定理背书，但有个让人心疼的浪费——每个月约 21 个观测，只留 1 个进模型，其余 20 个全扔。如果某个月出现了当年第二大和第三大的损失，它们对尾部估计的信息量明明很大，区组法却看都不看。

结论先放这：POT（Peaks Over Threshold，超阈值法）是极值理论的另一条主干路线，数据效率显著更高——定一个高阈值 u，把所有超过 u 的观测的超额部分拿来建模。Pickands-Balkema-de Haan 定理保证：阈值足够高时，超额分布收敛到广义帕累托分布（GPD），且形状参数 ξ 和 GEV 的 ξ 是同一个数。GARCH-t(5) 模拟 40 年日损失、95% 分位做阈值实测：504 个超额观测拟合 GPD 得 ξ=0.14，KS 检验 p=0.93 不可拒绝；外推 99.9% VaR 报 4.54%（样本内经验值 4.58%，正态公式只报 2.89%），99.99% 层级 POT 报 7.36% 而正态报 3.48%——正态假设在深尾把风险砍掉一半以上。

第二个极值定理#

区组极大值背后是 Fisher-Tippett-Gnedenko 定理。POT 背后是 Pickands-Balkema-de Haan 定理（1974/1975），陈述同样干净：设 $X$ 的分布在 GEV 吸引域内，定义阈值 $u$ 之上的超额分布

$F_u(y) = P(X - u \le y \mid X > u)$

那么当 $u$ 趋近分布右端点时， $F_u$ 收敛到广义帕累托分布（GPD）：

$G_{\xi,\beta}(y) = 1 - \Big(1 + \frac{\xi y}{\beta}\Big)^{-1/\xi}$

两个参数：尺度 β 和形状 ξ。ξ 的语义与 GEV 完全一致：

ξ > 0：幂律尾（Pareto 型）。t(ν) 分布对应 ξ = 1/ν，尾部按 $y^{-1/\xi}$ 衰减，是金融日收益的常态。
ξ = 0：指数尾。GPD 退化成指数分布——这是薄尾世界。
ξ < 0：有限右端点，损失有硬上限（金融里基本不出现）。

两个定理是一体两面：同一个分布，块最大值收敛到 GEV(ξ)，超阈值超额收敛到 GPD(ξ)，同一个 ξ。区别只在你怎么切数据——按时间切块取最大，还是按数值定阈取超额。

实验：GARCH-t(5) 的尾巴#

数据生成与上一篇完全相同：GARCH(1,1)-t(5) 模拟 40 年（10080 个交易日）日损失，真实尾部指数 ξ = 1/5 = 0.2，日损失峰度 8.6——标准的肥尾+波动聚集组合。

import numpy as np
from scipy import stats

# GARCH(1,1)-t(5) 模拟日损失（略，见上篇），loss 为百分比损失
u = np.quantile(loss, 0.95)          # 阈值取 95% 分位
exc = loss[loss > u] - u             # 超额序列
n_exc, n = len(exc), len(loss)       # 504 / 10080

# GPD 拟合（位置固定为 0，这是超额分布的定义所要求的）
xi, _, beta = stats.genpareto.fit(exc, floc=0)
# xi = 0.141, beta = 0.599

# 尾部分位数外推：P(X > u) = zeta，则
# VaR_p = u + beta/xi * [((1-p)/zeta)^(-xi) - 1]
zeta = n_exc / n
def pot_var(p):
    return u + beta / xi * (((1 - p) / zeta) ** (-xi) - 1)

# ES 有闭式解（xi < 1 时）
def pot_es(p):
    return (pot_var(p) + beta - xi * u) / (1 - xi)

python

两个实现细节值得强调。第一，floc=0 不是偷懒——超额分布的定义就是从 0 开始的，让位置参数自由浮动是常见错误，会把 ξ 估歪。第二，外推公式里的 $\zeta = P(X>u)$ 用经验频率 n_exc/n 估计，它是把「条件超额分布」翻译回「无条件尾部分位数」的桥梁。

日损失序列与超阈值观测

拟合结果：ξ = 0.14，bootstrap 90% 区间 [0.06, 0.22]，盖住理论值 0.2；KS 检验 p = 0.93 不可拒绝。作为对照，强行用指数分布（ξ=0）拟合同一批超额，KS p = 0.08——在 504 个观测下勉强没被处决，但对数纵轴的密度图上能看到指数尾在深处系统性低估（下图左）。这是个值得诚实标注的现象：ξ=0.14 离 0 不算远，有限样本下 GPD 和指数的区分需要足够深的尾部观测，这也是为什么外推层级越深、模型选择错误的代价越大。

GPD 拟合与 QQ 图

阈值怎么选：平均超额图#

POT 的自由裁量点从「块多长」换成了「阈值多高」，权衡结构一模一样：

阈值太低：超额分布还没收敛到 GPD，近似偏差污染估计；
阈值太高：超额观测太少，方差爆炸。

经典诊断工具是平均超额函数（mean excess function）： $e(u) = E[X - u \mid X > u]$ 。GPD 有个漂亮性质——如果超额真的服从 GPD(ξ, β)，那么 $e(u)$ 是 u 的线性函数，斜率 $\xi/(1-\xi)$ 。所以实操是：画出经验平均超额对候选阈值的曲线，从图上找它开始变直的位置，从那里往上都是 GPD 领地。

平均超额函数

本实验中曲线在 90% 分位之后斜率转正且大体线性（正斜率 = 肥尾），95% 分位是个稳妥的选择——留下 504 个超额，均衡了偏差与方差。

更系统的做法是阈值敏感性扫描：把阈值从 85% 分位滑到 99% 分位，看 ξ 和外推 VaR 是否稳定：

阈值分位	超额数	ξ 估计	99.9% VaR 外推
0.85	1512	0.10	4.45%
0.90	1008	0.11	4.46%
0.95	504	0.14	4.54%
0.98	202	0.18	4.55%
0.99	101	0.09	4.57%

这张表有两个教科书不太爱讲的诚实信息。第一，ξ 随阈值升高从 0.10 爬向 0.18 再在 99% 分位跳回 0.09——前半段是近似偏差逐渐消退（低阈值混入了非尾部观测，把 ξ 往下拽），最后一跳是 101 个观测的纯方差噪声。第二，也是更重要的：尽管 ξ 在 0.09-0.18 之间漂移，99.9% VaR 的外推始终稳在 4.4-4.6% 的窄带里。因为 ξ 和 β 的估计误差在外推公式里部分对冲——这正是实务上该看的稳定性：别只盯参数，盯你真正要用的那个输出量。

阈值敏感性

外推对决：正态 vs 经验 vs POT#

风控真正的考题是深尾分位数。三个方法同台：

层级	正态公式	样本经验分位	POT 外推	POT ES
99%	2.17%	2.45%	2.50%	3.37%
99.5%	2.41%	3.02%	3.04%	4.01%
99.9%	2.89%	4.58%	4.54%	5.75%
99.99%	3.48%	6.24%	7.36%	9.03%

三个读法。第一，正态公式全程系统性低估，且越深越离谱：99.9% 层级只报 2.89%，是经验值的 63%；99.99% 层级报 3.48%，不到 POT 的一半。这不是正态「误差大」，是它的指数平方尾在结构上就装不下幂律尾。第二，POT 在 99.9% 层级和经验分位几乎重合（4.54% vs 4.58%）——这是模型正确性的交叉验证：10080 个样本在 99.9% 深度还有约 10 个观测点，经验分位数还能站住，两者互相印证。第三，99.99% 层级经验分位（6.24%）开始低于 POT（7.36%）——40 年样本在这个深度只有 1 个观测，经验分位数本质上就是样本最大值附近，它只能低估没见过的极端；POT 的参数化外推正是为这个深度存在的。99.9% VaR 的 bootstrap 90% 区间是 [4.14%, 4.91%]，宽度约 ±9%——把不确定性一起报出去，比给一个假装精确的点估计诚实。

另一个 POT 独有的红利：ES（预期短缺）有闭式解 $ES_p = \frac{VaR_p + \beta - \xi u}{1-\xi}$ （要求 ξ<1）。ES 的回测难，但在 POT 框架下 ES 的计算是免费的，且 VaR 与 ES 的比值 $\frac{1}{1-\xi}$ 直接由尾部形状决定——ξ=0.14 时 ES 约为 VaR 的 1.16 倍再加常数项，肥尾越重这个倍数越大。

POT vs 区组极大值：怎么选#

同一份 40 年数据：区组法得到 480 个块最大值，POT 在 95% 阈值下得到 504 个超额——数量看起来接近，但信息质量不同。区组法的 480 个点里，平静年份的「块最大值」其实是尾部无关的普通观测（那个月根本没出大事），被迫进了模型；POT 的 504 个点全部真正来自尾部。反过来，区组法天然对波动聚集更钝感（一个月内的扎堆突破只贡献一个块最大值），POT 则会把聚集的超额全部收进来，破坏超额之间的独立性假设。

实务准则：

数据紧、只关心尾部 → POT，数据效率高，ES 有闭式解；
数据充裕、担心序列依赖 → 区组法更稳健，或 POT + declustering（聚簇消除：一个波动簇里只保留峰值超额）；
最干净的路线：先 GARCH 滤波把波动聚集吸掉，对标准化残差做 POT——滤波管动态，GPD 管尾形，各司其职。

诚实的边界#

超额不独立是本实验的已知瑕疵。 GARCH 数据的超阈值观测在时间上扎堆（高波动周里连环突破），而 GPD 的似然写法假设超额 iid。后果不是 ξ 有偏，而是有效样本量虚高、置信区间过窄——504 个超额的「等效独立样本」可能只有三四百个（extremal index < 1）。严格做法是 declustering 或先滤波，本文直接拟合是为了和上篇 GEV 保持同一份原始数据可比。

外推是条件陈述。 POT 说的是「如果尾部机制不变，99.99% 分位在 7.4% 附近」。它管不了结构断裂——2008 之前的数据外推不出流动性螺旋，管制市场的历史外推不出制度变化。EVT 是把已有尾部信息用到极致的工具，不是预言机。

ξ 接近 0 时模型选择敏感。 本实验 ξ=0.14，bootstrap 区间下沿到 0.06——离指数尾不远。如果真实 ξ 更小，GPD 和指数的深尾外推差距会以指数速度放大对样本的要求。层级越深，越应该同时报多个模型的外推加区间，而不是单点。

阈值选择仍是研究者自由度。 平均超额图的「变直位置」有目测成分，敏感性扫描能兜底但不能消除。预注册阈值规则（比如固定 95% 分位）比事后挑一个好看的阈值诚实。

POT 和区组极大值构成了 EVT 的两条主干；配合 VaR 回测系列的检验工具，尾部风险的「估计-外推-验证」闭环就完整了：POT 负责把深尾量级估对，回测负责监督它每天有没有说谎。